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Rayleigh-Bénard纳米流体的不稳定性:综合综述gydF4y2Ba

188博金宝官网登录体积gydF4y2Ba8gydF4y2Ba，文章编号:gydF4y2Ba21gydF4y2Ba（gydF4y2Ba2020gydF4y2Ba）gydF4y2Ba引用本文gydF4y2Ba

摘要gydF4y2Ba

纳米流体在极低体积分数下对传热效率的显著提高引起了人们对其控制机制的广泛关注。纳米尺度效应、布朗运动(粒子在基流体中的随机运动)和热泳动(粒子因温度梯度而扩散)是纳米流体中重要的滑移机制。在此基础上，建立了一套纳米流体守恒定律的偏微分方程。从那时起，大量关于纳米流体对流换热的数学研究成为可能。本文综述了在多孔介质和非多孔介质中，水平纳米流体层在旋转、磁场、霍尔电流和LTNE效应等不同参数影响下的失稳研究。最初是在考虑固定初始条件和层上边界条件的模型下进行研究，逐渐根据更实际的边界条件对模型进行修正，最近得到了新的更有趣的结果。本文对不稳定性问题进行了详尽的分析，并对未来的研究进行了展望。gydF4y2Ba

简介gydF4y2Ba

随着工业领域的发展，有效的冷却技术已成为许多工业过程的重要要求。在大多数工业中，能量以热的形式从一个物体向另一个物体的有效转移是普遍需要的。成功的生产和安全取决于热量的有效传递的例子有许多，即热电厂和核电厂、制冷和空调系统、化工厂和加工厂、电子设备、航天飞机和火箭运载工具。通常选择流体作为传递热量的介质，因此热传递的方式是对流。对流中的热转移量可以用一个明显的、看似简单的联系来解释，这就是牛顿冷却定律;gydF4y2Ba问gydF4y2Ba=gydF4y2Bah A∆TgydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba问gydF4y2Ba是传热率，gydF4y2BahgydF4y2Ba为对流换热系数，gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba表面积是和吗gydF4y2Ba∆TgydF4y2Ba是发生热能转移的温度变化。最大化一直是热工程师的追求gydF4y2Ba问gydF4y2Ba对于给定gydF4y2Ba∆TgydF4y2Ba或gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba什么可以通过增加gydF4y2BahgydF4y2Ba．传热系数是流体性质、速度和表面几何形状的复杂函数。从流体的各种性质来看，热导率以最直接的方式影响传热系数，因为这是在微观尺度上调节热输运的性质。通过固体传导的传热要比通过流体的传导或对流传热大得多。例如，铜在室温下，其导电性约为水的700倍，比机油的导电性高出近3000倍。一般的液体，如水、乙二醇和油，最初用于这种程序，但由于它们的传热特性有限，不能完全达到目的。相反，与常规流体相比，金属的导热系数非常高。这些事实引起并吸引了研究人员的注意，俱乐部产生一种传热模式，具有流体和金属的属性。考虑到这一观点，通过悬浮固体颗粒来提高流体的热特性的理论和实际工作已经做了大量的工作。大约一个世纪以前，麦克斯韦[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]开始了通过添加微米级和毫米级颗粒来增强热导率的理论工作，并逐渐将纳米颗粒悬浮在称为纳米流体的流体中[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

此后，纳米流体已成为一个令人兴奋的前沿研究和开发领域。Masuda等人研究了纳米流体的热导率增强。[gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba，伊士曼等。[gydF4y2Ba4gydF4y2Ba， Das等。[gydF4y2Ba5gydF4y2Ba等。他们声称，在使用极低浓度的纳米流体时，导热系数增加了10-30%。Buongiorno [gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]首次建立了研究纳米流体失稳现象的数学模型。他观察到，纳米粒子的速度可以被理解为基础流体和相对(滑移)速度的总和。为了推进他的研究，他考虑了七种滑移机制;不活度，马格努斯效应，布朗运动，扩散泳动，热泳动，重力沉降和液体排出。在整个研究过程中，他一致认为，在所有七种技术中，布朗扩散和热泳渗在没有湍流效应方面起着重要作用。Choi等人[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba的研究结果表明，在流体中添加碳纳米管能提高最高的热导率。在过去，人们对纳米流体的热导率做了大量的分析和实验工作[gydF4y2Ba8gydF4y2Ba，gydF4y2Ba9gydF4y2Ba，gydF4y2Ba10gydF4y2Ba，gydF4y2Ba11gydF4y2Ba］．Das和Choi [gydF4y2Ba12gydF4y2Ba，丁等人。[gydF4y2Ba13gydF4y2Ba和达斯等人。[gydF4y2Ba14gydF4y2Ba广泛研究了纳米流体中的对流换热。陈(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]从玻尔兹曼方程推导出热传导方程。纳米粒子的存在提高了基液的导电性[gydF4y2Ba4gydF4y2Ba，gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，gydF4y2Ba16gydF4y2Ba]和传热速率[gydF4y2Ba17gydF4y2Ba，gydF4y2Ba18gydF4y2Ba，gydF4y2Ba19gydF4y2Ba］．少量的纳米颗粒体积分数(< 0.1%)可使导电性提高40% [gydF4y2Ba8gydF4y2Ba它会随着温度的升高而升高。gydF4y2Ba5gydF4y2Ba]和纳米颗粒[gydF4y2Ba16gydF4y2Ba］．Choi等人的结果。[gydF4y2Ba7gydF4y2Ba]建立了在低浓度纳米管负载下测量的热导率出乎意料的非线性特征，而所有的理论研究都得出了线性关系。此外，人们还发现热导率强烈地依赖于温度[gydF4y2Ba5gydF4y2Ba]和颗粒大小[gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba］．Pak和Cho [gydF4y2Ba21gydF4y2Ba]考虑了圆形管中的铝和钛纳米颗粒来研究纳米流体的湍流流动，发现与基流体相比，努塞尔数值增加了30%。Kleinstreuer等人[gydF4y2Ba22gydF4y2Ba和Buongiorno和Hu [gydF4y2Ba23gydF4y2Ba]分别发现了纳米流体在药物输送系统和先进核系统中的应用。纳米流体的新预期应用包括传感器和诊断，可立即检测水中或水或食物污染中的化学战剂;生物医学应用，如冷却医疗设备、检测血液中不健康物质、癌症治疗或药物输送;以及先进技术的发展，如先进的蒸汽压缩制冷系统。本文主要综述了在多孔介质和非多孔介质中旋转、磁场、霍尔电流和局部热不平衡作用下纳米流体对流换热的数学研究成果。基于守恒定律的纳米流体偏微分方程由不同的研究人员研究，以建立重要和有趣的结果，这些结果将在后面的章节中介绍和分析。gydF4y2Ba

纳米流体的不稳定性gydF4y2Ba

热不稳定性gydF4y2Ba

水平流体层在底部加热，保持其边界的温差导致流体中的对流。在失稳开始时，温差第一次超过了某一值，由Bénard [gydF4y2Ba24gydF4y2Ba1900年。他发现底部的流体变轻并上升，而顶部的流体密度较高使系统顶部重。进一步，Bénard [gydF4y2Ba25gydF4y2Ba他们用金属板和一层不挥发的薄液体层在恒温下进行了一项实验。他发现，在不稳定开始时，流体层被分解成大量的细胞，称为Bénard细胞。gydF4y2Ba

瑞利勋爵[gydF4y2Ba26gydF4y2Ba详细地分析了这一现象。瑞利和Bénard进行的研究流体热不稳定性的工作被称为瑞利Bénard对流。Rayleigh-Bénard对流的示意图如图所示。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba．他们发现，在对流开始时，瑞利数由gydF4y2Ba\ (Ra = g \β\ d ^{3} \δT / \ν\ \ alpha_ {f}; \)gydF4y2Ba超过某一临界值;在哪里gydF4y2Baβ\ (\ \)gydF4y2Ba为热膨胀体积系数，gydF4y2BaggydF4y2Ba是重力引起的加速度，gydF4y2Ba\δT (\ \)gydF4y2Ba是两层边界之间的温差，gydF4y2Baf \ (\ alpha_ {} \)gydF4y2Ba是流体的热扩散率，gydF4y2BadgydF4y2Ba层的深度，和gydF4y2Ba\ \(ν\)gydF4y2Ba是运动粘度。对于稳定粘性力，gydF4y2Ba\ (Ra \)gydF4y2Ba参数表示失稳浮力。钱德拉(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba]通过对空气中流体层的实验，解释了流体层的不稳定性取决于它的深度。斯皮格尔和维罗妮丝[gydF4y2Ba28gydF4y2Ba]简化了流体流动的偏微分方程，使层的深度相对于高度非常小，多孔介质的方程由Joseph [gydF4y2Ba29gydF4y2Ba使用Boussinesq近似。钱德拉塞卡(Chandrasekhar)详细考虑了使用不同旋转和磁场假设的流体层的热对流[gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba］．金等人。[gydF4y2Ba31gydF4y2Ba结果表明，纳米粒子的热容和密度直接影响对流运动，而电导率则有不利影响。黄等人[gydF4y2Ba32gydF4y2Ba]发现氧化铝纳米颗粒的存在增强了基液的稳定性，其稳定性随纳米颗粒体积分数的增大而增大，随纳米颗粒尺寸的增大而减小。Buongiorno [gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]通过推导基于纳米效应(布朗效应和热泳扩散效应)的纳米流体守恒方程，开始了对纳米流体对流的解析处理:gydF4y2Ba

$$ \nabla .{\varvec{v}} = 0\;文本\离开({{\{连续性}}\;{\文本{方程}}}\右),$ $gydF4y2Ba
(1)gydF4y2Ba
$ $ \压裂{\部分\φ}{{\部分t}} + {\ varvec {v}}。\nabla \phi = \nabla .\左[{D_{B} \nabla \phi + D_{T} \frac{\nabla T}{T}} \右]\;\左({\text{纳米粒子守恒方程}}\右)，$$gydF4y2Ba
（2）gydF4y2Ba
左({$ $ \ρ\ \压裂{{\部分{\ varvec {v}}}}{\部分t} + {\ varvec {v}} {\ mathbf{。}} \微分算符{\ varvec {v}}} \右)= - \微分算符p + \μ\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} + \ρ{\ varvec {g}} \; \离开(文本{动量方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
（3）gydF4y2Ba
$ $ \离开({\ρc} \右)_ {f} \[{\离开压裂{\部分T}{{\部分T}} + {\ varvec {v}}。\nabla T} \右]= (k\nabla^{2} T) + \左({\rho c} \右)_{p} \左[{D_{B} \nabla \phi .\nabla T + D_{T} \frac{\nabla T \ T}{T} \右]\;\左({\text{热能方程}}\右)。$ $gydF4y2Ba
（4）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\({\varvec{v}} = (u,v,w)\)gydF4y2Ba是纳米流体速度，gydF4y2Baφ\ (\ \)gydF4y2Ba为纳米颗粒体积分数，gydF4y2Ba\ (\ rho_ p {} \)gydF4y2Ba为纳米粒子质量密度，gydF4y2Ba\ (D_ {B} \)gydF4y2Ba为布朗扩散系数，gydF4y2Ba\ (D_ {T} \)gydF4y2Ba为热泳扩散系数，gydF4y2Ba\μ(\ \)gydF4y2Ba是液体的粘度，gydF4y2Ba\ \ (t)gydF4y2Ba是时间，gydF4y2Ba\(\左({\rho c} \右)_{f}\)gydF4y2Ba是流体的热容，gydF4y2Ba\(\左({\rho c} \右)_{p}\)gydF4y2Ba为纳米粒子的热容，gydF4y2Ba\ (k \)gydF4y2Ba为介质的热导率，gydF4y2Ba\ \ (T)gydF4y2Ba是温度和纳米流体的密度gydF4y2Baρ\ (\ \)gydF4y2Ba由:gydF4y2Ba

$ $ \φρ= \ \ rho_ {p} + \离开({φ1 - \}\)\ rho_丛{f} \ \φ\ rho_ {p} + \离开({φ1 - \}\)\左\ {{\ rho_ {f0} \离开({1 -β\ \离开({T - T_{0}识别}\右)}\右)}\右\}。$ $gydF4y2Ba
（5）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Baf \ (\ rho_ {} \)gydF4y2Ba是基液的密度gydF4y2Ba\ (T_{0} \识别)gydF4y2Ba参考温度和gydF4y2Ba\ (\ rho_ {f0} \)gydF4y2Ba是参考温度下的流体密度。偏微分方程。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)以及不同失稳问题的动量方程，对流体中的对流运动进行了研究。基于质量守恒的动量方程被研究人员在不同情况下重新定义，以研究不同的水动力和水磁学问题。对守恒方程进行了无量纲化，得到了新的参数，并进一步建立了热瑞利数的表达式，研究了各种失稳问题。Tzou [gydF4y2Ba33gydF4y2Ba，gydF4y2Ba34gydF4y2Ba]解析求解了对流情况下纳米流体的守恒方程，确定了纳米粒子的存在显著加速了流体层的失稳发生。尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba35gydF4y2Ba]考虑从下面加热的纳米流体层，如图所示。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba同样的几何图形被许多研究者进一步用来研究问题。他们解出了守恒方程。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)，利用伽辽金法和法模技术求解自由-自由、无刚性和刚性-刚性边界。gydF4y2Ba

图1gydF4y2Ba
图1gydF4y2Ba

Rayleigh-Bénard对流的示意图gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba
图2gydF4y2Ba
图2gydF4y2Ba

几何Rayleigh-Bénard对流问题gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

对于自由-自由边界，Nield和Kuznetsov [gydF4y2Ba35gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^ {2}}}- Rn左\[{勒+ Na} \],美元美元gydF4y2Ba
(6）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2BaRngydF4y2Ba，gydF4y2Ba勒gydF4y2Ba，gydF4y2BaNagydF4y2Ba分别为浓度瑞利数、刘易斯数和修正扩散比，为无量纲参数。这一结果与Tzou [gydF4y2Ba21gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22gydF4y2Ba，建立了底重情况下临界瑞利数的约简[gydF4y2Ba21gydF4y2Ba，gydF4y2Ba22gydF4y2Ba而尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba35gydF4y2Ba]声称非振荡不稳定性的临界瑞利数的值增加了。还有，尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba35gydF4y2Ba]提出了纳米流体参数的影响，并得出结论gydF4y2BaRngydF4y2Ba，gydF4y2Ba勒gydF4y2Ba，gydF4y2BaNagydF4y2Ba底重箱使系统失稳。亚达夫等人。[gydF4y2Ba36gydF4y2Ba]还通过携带守恒方程对纳米流体的热不稳定性进行了分析研究。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)．除了纳米流体参数外，他们还研究了温度梯度的影响，发现温度梯度延缓了对流运动，纳米效应显著地破坏了层的稳定。此外，Sharma和Gupta重新审视了纳米流体对流问题[gydF4y2Ba37gydF4y2Ba]对这一问题进行了详细的探讨，而不结合任何阶段的术语，并根据纳米流体的物理性质找到了热瑞利数的表达式。最近，Kumar等人进行了实验和分析研究。[gydF4y2Ba38gydF4y2Ba]来研究纳米流体中的Rayleigh-Bénard不稳定性。用植物提取物合成了银和硒纳米颗粒，并将基液取为水，研究了对流的发生。观察到，纳米颗粒的存在延缓了流体不稳定的发生。由于流体和多孔材料之间的相互作用，出现了一些额外的复杂性。多孔介质中流体热不稳定性的研究由于其广泛的应用而成为以往研究的重点。地球强磁场对这种流体稳定性的影响是地球物理学的一个重要研究领域。在研究地核时，它变得更加突出，因为地核的地幔就像一个由导电流体组成的多孔介质。Lapwood在多孔介质中牛顿流体/非牛顿流体对流问题上做了大量的工作[gydF4y2Ba39gydF4y2Ba，伍丁[gydF4y2Ba40gydF4y2Ba，麦克唐纳等。[gydF4y2Ba41gydF4y2Ba，英厄姆和波普[gydF4y2Ba42gydF4y2Ba，瓦法伊，哈丁[gydF4y2Ba43gydF4y2Ba，以及尼尔德和贝扬[gydF4y2Ba44gydF4y2Ba］．由于对流在多孔介质中的应用以及考虑到纳米流体的热性质，纳米流体在多孔介质中的对流问题在研究工作中也得到了应有的重视。多孔介质的研究从达西模型开始，进一步推广为达西-布林克曼模型。考虑达西阻力项，Lapwood [gydF4y2Ba39gydF4y2Ba和伍丁[gydF4y2Ba40gydF4y2Ba研究了饱和多孔介质中流体流动的稳定性。根据瑞利程序，他们证明了多孔介质对流流动的临界瑞利数的值为gydF4y2Ba\(4 \π^ {2}\)gydF4y2Ba．Nield和Bejan在一本书中发表了关于多孔介质中流体对流相关工作的详细和彻底的综述[gydF4y2Ba44gydF4y2Ba］．纳米流体的Lapwood问题由Nield和Kuznetsov [gydF4y2Ba45gydF4y2Ba使用达西模型和库兹涅佐夫和尼尔德[gydF4y2Ba46gydF4y2Ba]利用Brinkman模型进一步扩展了多孔介质中的问题。在达西模型中，假定多孔介质具有孔隙率ε和渗透率gydF4y2BaKgydF4y2Ba．达西速度表示为gydF4y2Ba\ ({\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}} = \ varepsilon {\ varvec {v}} \)gydF4y2Ba．然后是守恒方程。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)的达西模型修改为[gydF4y2Ba45gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba

$ $ \微分算符。\压裂{{{\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}}}} {\ varepsilon} = 0 \; \离开(文本{连续性方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
(7）gydF4y2Ba
$ $ \压裂{\部分\φ}{{\部分t}} + \压裂{{{\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}}}} {\ varepsilon}。\nabla \phi = \nabla .\左[{D_{B} \nabla \phi + D_{T} \frac{\nabla T}{T}} \右]\;\左({\text{纳米粒子守恒方程}}\右)，$$gydF4y2Ba
（8）gydF4y2Ba
$ $ 0μ= - \微分算符p + \ \微分算符^ {2}{\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}} - \压裂{\μ}{K} {\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}} + \ρ{\ varvec {g}} \; \离开(文本{动量方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
（9)gydF4y2Ba
$ $ \离开({\ρc} \右)_ {f} \离开[{\压裂{\部分T}{{\部分T}} + {\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}}。\微分算符T} \右)= (k \微分算符^ {2}T) + \ varepsilon \离开({\ρc} \右)_ {p} \离开[{D_ {B} \微分算符\φ。\ T + D_微分算符{T} \压裂{\微分算符T \微分算符T} {T}} \右]\;\离开(文本{热能方程}}{\ \右)。$ $gydF4y2Ba
（10）gydF4y2Ba

解方程。（gydF4y2Ba7gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba10gydF4y2Ba)、尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba45gydF4y2Ba]得到多孔介质中的热瑞利数表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}}}{{\α^ {2}}}- Rn左\[{\压裂{Le} {\ varepsilon} + Na} \正确),$ $gydF4y2Ba
（11）gydF4y2Ba

并得出结论gydF4y2BaRngydF4y2Ba，gydF4y2Ba勒gydF4y2Ba，gydF4y2BaNagydF4y2Ba由于纳米颗粒底部分布重，使纳米流体层体系不稳定，而孔隙率则使其稳定。研究发现，临界热瑞利数的值随纳米粒子的存在而发生很大的变化，这取决于基础纳米粒子的分布是头重还是底重。他们声称振荡不稳定性只可能发生在底部重的纳米粒子分布中。库兹涅佐夫和尼尔德[gydF4y2Ba46gydF4y2Ba]通过结合Brinkman模型进一步扩展了他们在多孔介质中的工作。Brinkman模型动量变化守恒方程为:gydF4y2Ba

$ $ \压裂{{\ rho_ {f}}} {\ varepsilon} \压裂{\部分v}{{\部分t}} = - \微分算符p + \波浪号{\μ}\,\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} _ {D} - \压裂{\μ}{K} {\ varvec {v}} _ {D} + \ρ{\ varvec {g}}, $ $gydF4y2Ba
（12）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\(\波浪符号{\μ}\ \)gydF4y2Ba为有效粘度。因此，一组等式。（gydF4y2Ba7gydF4y2Ba，gydF4y2Ba8gydF4y2Ba，gydF4y2Ba10gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba12gydF4y2Ba)构成了Brinkman模型系统的控制方程。库兹涅托夫和尼尔德[gydF4y2Ba46gydF4y2Ba]对该系统进行正模技术处理分析，得到热瑞利数表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{Da \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}+ \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}}}{{\α^ {2}}}- Rn左\[{\压裂{Le} {\ varepsilon} + Na} \正确),$ $gydF4y2Ba
（13）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba达gydF4y2Ba为布林克曼模型中引入的达西数。他们确定，对于典型的纳米流体(具有较大的刘易斯数)，浮力和纳米粒子的守恒对系统有主要影响，而纳米粒子的浓度有二级影响。他们发现了具有达西数效应的热瑞利数临界值，并得出结论:当达西数的值较大时，临界瑞利数比钱德拉塞卡的经典结果大3%，而当达西数不存在时，临界瑞利数比经典结果大11%。昌德和拉纳[gydF4y2Ba47gydF4y2Ba]还考察了纳米流体在多孔介质中的振荡对流，并对稳定性交换原理对该问题的有效性提出了质疑，并导出了振荡运动不存在的条件。gydF4y2Ba

Thermosolutal不稳定gydF4y2Ba

梅尔文·斯特恩[gydF4y2Ba48gydF4y2Ba]是第一个考虑两种性质在水平边界之间在固定浓度下的线性相反梯度的情况。他揭示了二元对流中有趣的效应是由于热和溶质的扩散率之间的显著差异。从那以后，更多的研究人员，包括维罗妮丝[gydF4y2Ba49gydF4y2Ba和尼尔德[gydF4y2Ba50gydF4y2Ba发展了这个想法。Veronis研究了从下加热的稳定溶质梯度下流体层的热溶质对流问题[gydF4y2Ba49gydF4y2Ba］．Nield在各种边界条件下对该问题进行了线性计算[gydF4y2Ba50gydF4y2Ba］．它由特纳[gydF4y2Ba51gydF4y2Ba，gydF4y2Ba52gydF4y2Ba对流运动取决于具有较高或较低扩散率的分量，从而产生驱动力。当较轻的流体层置于较密集的不同扩散系数的流体层上时，会出现两种对流运动;扩散和手指构型。于佩尔和特纳对双扩散体系的研究作了很好的评述。gydF4y2Ba53gydF4y2Ba和特纳[gydF4y2Ba54gydF4y2Ba］．多组分输运过程的干扰产生交叉扩散(Soret和Dufour)效应。由温度梯度引起的质量通量定义为Soret效应，而由溶质梯度引起的热通量定义为Dufour效应。由于Soret和Dufour效应的作用微不足道，因此可以忽略它们在耦合传热和传质的简单模型中的存在[gydF4y2Ba44gydF4y2Ba］．麦克杜格尔[gydF4y2Ba55gydF4y2Ba]对考虑溶质效应的双扩散对流进行了深入研究(Soret和Dufour)。这些想法的存在已经在海洋学领域被观察到，理论家、实验室实验和远洋海洋学家的作用对探索这一过程变得至关重要。该领域也大大扩大了，除了特纳概述的那些以外，新的应用变得明显。gydF4y2Ba52gydF4y2Ba］．双扩散概念主要应用于大型工程应用中，可在太阳池、浅人工湖泊等中观测到。热溶质对流的直接类似物被用来描述大型恒星的性质，这些恒星的核心富含氦，从下方被加热。明镜周刊(gydF4y2Ba56gydF4y2Ba结果表明，氦/氢比对密度梯度有显著影响，可限制氦通过双扩散对流输运。另一个双扩散对流过程的例子是金属凝固。gydF4y2Ba

库兹涅佐夫和尼尔德[gydF4y2Ba57gydF4y2Ba]开始了达西模型下纳米流体层饱和多孔介质中双扩散不稳定性的数学研究。由于热、纳米粒子和溶质的参与，他们将所研究的问题归类为三重扩散型过程。用非振荡和振荡情况的解析表达式对复杂方程进行了简化。结果预测，纳米颗粒的顶部重分布将出现非振荡模式，这对应于振荡的存在需要两个相反方向的浮力作用。此外，库兹涅佐夫和尼尔德[gydF4y2Ba58gydF4y2Ba]在非多孔介质中研究了伴生论文。对从下向上加热和求解的水平二元纳米流体层的动量、热能和溶质守恒方程重新定义为:gydF4y2Ba

左({$ $ \ρ\ \压裂{{\部分{\ varvec {v}}}}{\部分t} + {\ varvec {v}} {\ mathbf{。}} \微分算符{\ varvec {v}}} \右)= - \微分算符p + \μ\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} + \ρ{\ varvec {g}} \; \离开(文本{动量方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
(14）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\(φ\ρ= \ \ rho_ {p} + \离开({φ1 - \}\)\ rho_丛{f} \ \φ\ rho_ {p} + \离开({φ1 - \}\)\左\ {{\ rho_ {f0} \离开({1 -β\ \离开({T - T_{0}识别}\右)-β\ ^{\ '}\离开({C - C_{0}} \右)}\右)}\右\},\)gydF4y2Ba

$ $ \离开({\ρc} \右)_ {f} \[{\离开压裂{\部分T}{{\部分T}} + {\ varvec {v}}。T} \微分算符正确\]= (k \微分算符^ {2}T) + \离开({\ρc} \右)_ {p} \离开[{D_ {B} \微分算符\φ。\ T + D_微分算符{T} \压裂{\微分算符T \微分算符T} {T}} \右]+ \ρcD_ {TC} \微分算符^ {2}c \; \离开(文本{热能方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
(15）gydF4y2Ba
$ $ \压裂{\部分C}{{\部分t}} + {\ varvec {v}}。\微分算符C = D_{年代}\微分算符^ {{^ {2}}}C + D_ {CT} \微分算符^ {{^ {2}}}T \; \离开(文本{溶质守恒方程}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
（16）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\ \(β^ {\ '}\)gydF4y2Ba为溶质体积系数，gydF4y2Ba\ (D_{年代}\)gydF4y2Ba是溶质的扩散系数，gydF4y2Ba\ (D_ {TC} \)gydF4y2Ba为Dufour型扩散率，gydF4y2Ba\ (D_ {CT} \)gydF4y2BaSoret型扩散系数和gydF4y2Ba\ (C \)gydF4y2Ba是溶质浓度。采用单项伽辽金近似法对其稳定性进行了分析，得到瑞利数的表达式为gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({1 - N_ {CT} N_ {TC} L_{年代}}\右)}}{{\离开({1 - L_{年代}N_ {TC}} \右)}}\离开({\压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^ {2}}}+ Le \ Rn} \右)- \压裂{{\离开({1 - N_ {CT}} \右)}}{{\离开({1 - L_{年代}N_ {TC}} \右)}}Rs - Na \, Rn。$ $gydF4y2Ba
(17)gydF4y2Ba

该表达式包含4个额外的纳米维溶质数;gydF4y2Ba\ (N_ {CT} \)gydF4y2Ba俗参数,gydF4y2Ba\ (N_ {TC} \)gydF4y2Ba杜福尔参数,gydF4y2Ba\ (L_{年代}\)gydF4y2Ba溶质路易斯数和gydF4y2Ba\ (Rs \)gydF4y2Ba溶质瑞利数。用单项伽辽金近似逼近稳定边界，得到的临界瑞利数比真实值高约5%。在大普朗特数和大纳米粒子刘易斯数的假设下，通过简化复式得到振荡不稳定性的分析结果。Gupta等人重新研究了二元纳米流体对流的相同问题。[gydF4y2Ba59gydF4y2Ba来证明振荡运动的存在。他们利用软件Mathematica详细分析了不同参数对纳米流体层中热溶质对流开始的影响。此外，Yadav等人。[gydF4y2Ba60gydF4y2Ba]利用Darcy-Brinkman模型研究了二元纳米流体层的问题。利用铝-水纳米流体，推导了对流开始的数值计算结果。Kuznetsov和Nield [gydF4y2Ba61gydF4y2Ba］．本文通过数值计算得到了这些项。阿加瓦尔等人[gydF4y2Ba62gydF4y2Ba]从Nusselt数的角度研究了二元纳米流体层饱和多孔介质中的非线性对流，发现时间对Nusselt数的影响最初是振荡的，但随着时间的增加Nusselt数逐渐趋于稳定。亚达夫等人。[gydF4y2Ba63gydF4y2Ba]探讨了热导率和粘度变化对多孔介质中二元纳米流体对流的影响。此外，Umavathi [gydF4y2Ba64gydF4y2Ba]进行了研究，分析了变粘度和导电性对Maxwell纳米流体饱和多孔介质层中二元对流线性和非线性稳定性分析的影响。gydF4y2Ba

在上述所有研究中，都假设纳米颗粒的通量可以通过边界的温度来控制。此外，这些边界条件在物理上很难实现，因此需要更现实的边界条件。尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba65gydF4y2Ba，gydF4y2Ba66gydF4y2Ba提出了关于层边界的新条件，并假设纳米粒子穿过边界的通量为0(这比纳米粒子顶部重/底部重的构型更现实)。gydF4y2Ba

$ $ D_ {B} \压裂{\部分\φ}{{\部分z}} + \压裂{{D_ {T}}} {{T_{0}识别}}\压裂{\部分T}{{\部分z}} = 0 \;{\文本在}{}\;z = 0, d。$ $gydF4y2Ba
（18)gydF4y2Ba

得到修正边界条件的瑞利数表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^ {2}}}- Rn \ \, Na \[{勒+ 1}\]。$ $gydF4y2Ba
(19)gydF4y2Ba

与Nield和Kuznetsov [gydF4y2Ba35gydF4y2Ba和尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba45gydF4y2Ba］．认识到到目前为止所述的原始和修正模型对纳米颗粒的导电性不敏感;夏尔马等人。[gydF4y2Ba67gydF4y2Ba]修正模型，假定流体层中初始纳米颗粒体积分数恒定，推导出瑞利数(在没有溶质参数的情况下)的表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^ {2}}}- Rn \ \, Na, $ $gydF4y2Ba
（20)gydF4y2Ba

与刘易斯数无关，因此建立了gydF4y2Ba\ (Ra \)gydF4y2Ba纳米粒子的密度和导电性。研究发现，纳米颗粒的密度加快了流体中对流的发生，而导电性的增加延缓了对流的发生。非金属的稳定规律为:铝-水>硅-水> >氧化铜-水>氧化钛-水，金属的稳定规律为:铝-水>铜-水>银-水> >铁-水gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba4gydF4y2Ba［gydF4y2Ba67gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

图3gydF4y2Ba
图3gydF4y2Ba

非金属对瑞利数的影响[gydF4y2Ba67gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba
图4gydF4y2Ba
图4gydF4y2Ba

金属对瑞利数的影响[gydF4y2Ba67gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

不同参数对纳米流体不稳定性的影响gydF4y2Ba

旋转效应gydF4y2Ba

当流体在旋转系统的重力作用下扩散时，垂直于旋转矢量的运动会产生科里奥利力，而科里奥利力倾向于反对扩散。在没有边界交叉等势面和不稳定或粘性耗散的情况下，流体接近一种地球平衡状态，其中浮力和科氏力处于平衡状态。旋转对流体中对流运动的开始有重要影响。这个问题在海洋学、湖沼学和需要研究旋转流体热不稳定性的工程过程中都有应用。它定义了流体动力学中的一些新参数，其结果令人惊讶，如粘度的函数颠倒了[gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba］．Yadav等人分析了旋转对纳米流体层系统的影响。[gydF4y2Ba68gydF4y2Ba和Chand [gydF4y2Ba69gydF4y2Ba］．对于非多孔介质，垂直旋转作用下的动量守恒方程定义为[gydF4y2Ba68gydF4y2Ba，gydF4y2Ba69gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

左({$ $ \ρ\ \压裂{{\部分{\ varvec {v}}}}{\部分t} + {\ varvec {v}} {\ mathbf{。}} \微分算符{\ varvec {v}}} \右)= - \微分算符p + \μ\微分算符^ {2}\ user2 {v + 2} \ρ\离开({{\ varvec {v}} \ * {{\ varvec{\ω}}}}\右)+ \ρ{\ varvec {g}}, $ $gydF4y2Ba
(21）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\({{\varvec{\Omega}} = (0,0，\Omega)\)gydF4y2Ba是角速度和项吗gydF4y2Ba\ ({\ varvec{2}} \ρ\离开({{\ varvec {v}} \ * {{\ varvec{\ω}}}}\)\)gydF4y2Ba表示由于旋转的存在而引入的科里奥利力项，而对于多孔介质由于旋转而引入的动量方程修正为[gydF4y2Ba70gydF4y2Ba，gydF4y2Ba71gydF4y2Ba，gydF4y2Ba72gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

$ $ 0 = - \微分算符p + \波浪号{\μ}\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} _ {D} - \压裂{\μ}{K} {\ varvec {v}} _ {D} + \压裂{2}{\三角洲}\离开({{\ varvec {v}} _ {D} \乘以ω\}\右)+ \ρ{\ varvec {g}} \; \离开(文本{达西模型}}{\ \右),$ $gydF4y2Ba
(22)gydF4y2Ba
$ $ \压裂{{\ rho_ {f}}} {\ varepsilon} \压裂{{\部分{\ varvec {v}} _ {D}}}{\部分t} = - \微分算符p + \波浪号{\μ}\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} _ {D} - \压裂{\μ}{K} {\ varvec {v}} _ {D} + \压裂{2}{\三角洲}\离开({{\ varvec {v}} _ {D} \乘以ω\}\右)+ \ρ{\ varvec {g}} \; \离开({\文本{达西Brinkman模型}}\右)。$ $gydF4y2Ba
(23)gydF4y2Ba

集(gydF4y2Ba69gydF4y2Ba]考虑了纳米颗粒在非多孔介质中的头重构型，并利用正模技术进行了数值计算。得到对流静止模式下的热瑞利数表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}+助教\π^{2}}}{{\α^ {2}}}- Rn左\[{勒+ Na} \],美元美元gydF4y2Ba
(24）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba助教gydF4y2Ba为表示旋转效应的泰勒数。他声称旋转的纳米流体比非旋转的纳米流体更稳定。在静止对流中还发现了泰勒数gydF4y2Ba助教gydF4y2Ba(旋转)，路易斯数gydF4y2Ba勒gydF4y2Ba，浓度瑞利数对体系有稳定作用gydF4y2BaRngydF4y2Ba和修正的扩散率比gydF4y2BaNagydF4y2Ba对系统有不稳定的影响。巴达乌里亚和阿加瓦尔[gydF4y2Ba70gydF4y2Ba]考虑Brinkman模型来研究多孔介质中纳米流体层的不稳定性，得到纳米颗粒底部重构型的表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({1 + DaJ ^{2}} \右)^ {2}J ^{4} +助教\π^ {2}J ^{2}}}{{\α^{2}\离开({1 + DaJ ^{2}} \右)}}+ Rn左\[{\压裂{Le} {\ varepsilon} - Na} \正确),$ $gydF4y2Ba
(25）gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\(J^{2} = \pi^{2} + \alpha^{2}，\)gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba达gydF4y2Ba是由布林克曼模型引入的达西数，它与其他纳米流体参数的作用对对流的平稳模式有稳定作用，除了gydF4y2BaNagydF4y2Ba这会对整个系统造成不稳定的影响。他们还发现了振荡运动的瑞利数表达式(纳米粒子的底部重分布)。巴达乌里亚和阿加瓦尔[gydF4y2Ba70gydF4y2Ba]还对多孔介质中旋转纳米流体层的不稳定性进行了非线性研究。在多孔介质中的Brinkman模型中，他们使用截断傅立叶级数分析的最小表示。他们在分析中引入了代表换热速率的努塞尔数，发现随着瑞利数的增大，努塞尔数也随之增大，换热速率随之增大。但当瑞利数较大时，努塞尔数趋于一个固定值并趋于恒定，因此换热速率趋于恒定。纳米粒子的传质速率随达西数和修饰扩散比的增大而增大。此外，昌德和拉纳[gydF4y2Ba71gydF4y2Ba]也采用Brinkman模型，但对于顶部重构型的纳米粒子，并得到gydF4y2Ba类风湿性关节炎gydF4y2Ba为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{Da \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}+ \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}}}{{\α^{2}}}+ \压裂{1}{{\α^{2}}}\压裂{{Ta \π^{2}\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)}}{{Da \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)+ 1}}\,——\离开({Na + \压裂{Le} {\ varepsilon}} \右)Rn。$ $gydF4y2Ba
（26)gydF4y2Ba

他们发现孔隙率和浓度瑞利数降低了系统的稳定性，而达西数对对流平稳模式具有稳定/不稳定的双重作用，这取决于泰勒数的值。在不旋转的情况下，达西数对系统有稳定作用。阿加瓦尔等人[gydF4y2Ba72gydF4y2Ba]利用达西模型研究了旋转对各向异性多孔介质中纳米流体层的影响。结果表明，底重排列有利于振荡对流，顶重排列有利于定常对流。旋转有助于这两种趋势中的任何一种。对于这两种排列，旋转参数(泰勒数)都提高了系统的稳定性。亚达夫等人。[gydF4y2Ba73gydF4y2Ba]数值解决了旋转纳米流体层的热不稳定性问题。采用六项伽辽金法求解无刚体和刚体-刚体边界条件的本征值方程。比较了两种不同边界条件下的结果，发现在较小的泰勒数域内，同时具有刚性边界的系统比无刚性边界更稳定，而无应力边界在较高的泰勒数域内比刚性边界更稳定。Rana等人[gydF4y2Ba74gydF4y2Ba和拉纳和阿加瓦尔[gydF4y2Ba75gydF4y2Ba]研究了旋转对饱和多孔介质的双扩散纳米流体对流的影响。在他们的工作中建立了旋转参数的稳定作用。阿加瓦尔(gydF4y2Ba76gydF4y2Ba，拉纳和昌德[gydF4y2Ba77gydF4y2Ba亚达夫等人。[gydF4y2Ba78gydF4y2Ba在新的边界条件下(纳米粒子通量在边界处为零)，重新探讨了受旋转作用的纳米流体层中的对流运动问题。亚达夫等人。[gydF4y2Ba78gydF4y2Ba]采用6项伽辽金方法数值求解了含有氧化铝和铜纳米颗粒的水基纳米流体的特征值问题。对比了铝水纳米流体与铜水纳米流体的稳定性，发现在这些新的边界条件下，在恒定的纳米粒子边界条件下，铝水纳米流体表现出更强的失稳效应，而铜水纳米流体则表现出相反的趋势。这是因为改性扩散率比对零纳米粒子边界通量有显著影响，且铝-水纳米流体的扩散率比高于铜-水纳米流体。Sharma等人分析了旋转对二元纳米流体对流的稳定影响。[gydF4y2Ba79gydF4y2Ba］．在饱和多孔介质的流体层中，纳米粒子的底部重排列产生振荡运动。图中泰勒数对对流平稳模式和振荡模式的稳定作用。gydF4y2Ba5gydF4y2Ba对流模式被发现是振荡的[gydF4y2Ba80gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

图5gydF4y2Ba
图5gydF4y2Ba

旋转参数对瑞利数的影响[gydF4y2Ba80gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

此外，在许多工作中研究了旋转多孔纳米流体层中热溶质对流的发生[gydF4y2Ba81gydF4y2Ba，gydF4y2Ba82gydF4y2Ba使用达西和达西·布林克曼模型。gydF4y2Ba

磁场效应gydF4y2Ba

当导电流体受到均匀磁场的影响时，可以在流体中观察到两种电磁效应。首先，由于流体穿过磁场的运动，电流在流体中被诱导，这往往会改变现有的磁场。其次，流体中横向磁力线的电流施加的力加起来等于现有的磁场。这种流体运动和磁场之间的双重相互作用导致了意想不到的行为模式，在麦克斯韦方程中得到了描述和很好地包含。通过考虑麦克斯韦方程，对流体动力学方程进行了更合适的修正[gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba］．汤姆森(gydF4y2Ba83gydF4y2Ba]修正了瑞利(Rayleigh)提出的慢热对流理论[gydF4y2Ba26gydF4y2Ba和杰弗里[gydF4y2Ba84gydF4y2Ba通过加入磁场与导电流体相互作用所产生的洛伦兹力。这种相互作用的结果也由费米[gydF4y2Ba85gydF4y2Ba]和Alfvén [gydF4y2Ba86gydF4y2Ba］．莱利(gydF4y2Ba87gydF4y2Ba]对竖直磁场影响下的Rayleigh-Bénard对流进行了进一步的研究，称为磁对流。Ghasemi等人。[gydF4y2Ba88gydF4y2Ba和滨田等人。[gydF4y2Ba89gydF4y2Ba]考虑了含有铜、氧化铝和银纳米颗粒的水基纳米流体，以研究热不稳定性并进行数值计算。Ghasemi等人。[gydF4y2Ba88gydF4y2Ba]研究了磁场和纳米流体对方形腔内自然对流的影响，而Mahmoudi等[gydF4y2Ba90gydF4y2Ba]研究了矩形空腔的相同影响。他们认为，磁场导致了外壳内对流循环流动的减少，这导致了换热率的降低。这项工作(磁对流)在工程领域以各种应用的形式作出了贡献，如液体中的晶体生长、核反应堆棒的冷却、电子和微电子器件中的微芯片的冷却、太阳能技术等。通过概念化磁场应用的效用方面，Heris等人[gydF4y2Ba91gydF4y2Ba]研究了磁场和纳米流体对两相闭合热虹吸的影响，发现随着磁场强度和纳米颗粒浓度的增加;热虹吸的热效率显著提高。Nemati等人[gydF4y2Ba92gydF4y2Ba]在他们的理论研究中，考虑晶格玻尔兹曼模型，研究了磁场对矩形腔内纳米流体对流的影响。他们得出结论，磁场的增加降低了对流换热率，而传导换热率占主导地位。古普塔等人[gydF4y2Ba93gydF4y2Ba亚达夫等人。[gydF4y2Ba94gydF4y2Ba]分别考虑了纳米颗粒底部重分布和顶部重分布时纳米流体层的磁对流。通过在纳米流体层上施加磁场，结合热浮力元素，诱发了洛伦兹力。因此，在磁场存在的情况下，守恒方程组包括方程式。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)连同，gydF4y2Ba

左({$ $ \ρ\ \压裂{{\部分{\ varvec {v}}}}{\部分t} + {\ varvec {v}} {\ mathbf{。}} \微分算符{\ varvec {v}}} \右)= - \微分算符p + \μ\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} + \ρ{\ varvec {g}} + \压裂{{\ mu_ {e}}}{4π\}\离开({\微分算符\ * {\ varvec {h}}} \) \ * {\ varvec {h}}, $ $gydF4y2Ba
(27）gydF4y2Ba

和麦克斯韦方程gydF4y2Ba

$ $ \压裂{{d {\ varvec {h}}}} {dt} = \离开({{\ varvec {h}}。\微分算符}\右){\ varvec {v}} + \埃塔\微分算符^ {2}{\ varvec {h}}, $ $gydF4y2Ba
(28)gydF4y2Ba
$$ \nabla .{\varvec{h}} = 0。$ $gydF4y2Ba
(29)gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\({\varvec{h}} = (0,0,h)\)gydF4y2Ba垂直方向的磁场是和吗gydF4y2Ba\ \(压裂{{\ mu_ {e}}}{4π\}\离开({\微分算符\ * {\ varvec {h}}} \) \ * {\ varvec {h}} \)gydF4y2Ba表示外加磁场引入的洛伦兹力项。方程式系统。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba27gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba29gydF4y2Ba)，以检验磁场对纳米颗粒底部重分布的影响及定常对流的表达[gydF4y2Ba93gydF4y2Ba，gydF4y2Ba94gydF4y2Ba，得到如下:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)}}{{\α^{2}}}\离开[{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^ {2}+ Q \π^{2}}\右]+ Rn \离开[{Le - Na} \]。$ $gydF4y2Ba
(30）gydF4y2Ba

还给出了振荡对流的表达式。由于磁场的存在，钱德拉塞卡数gydF4y2Ba\(问\)gydF4y2Ba出现了。钱德拉塞卡数延迟了对流的发生，对于底部重分布建立了振荡换热模式，而对于顶部重分布则建立了固定对流换热模式。肖和西班达[gydF4y2Ba95gydF4y2Ba]利用Brinkman模型利用对流边界条件研究了达西多孔介质中纳米流体层的水磁不稳定性。结果表明，在静止对流情况下，临界瑞利数随达西数和磁场参数的增大而增大。古普塔等人[gydF4y2Ba96gydF4y2Ba和阿胡贾等人。[gydF4y2Ba97gydF4y2Ba，gydF4y2Ba98gydF4y2Ba]通过比较铝的热不稳定性进行了他们的氢磁稳定性研究gydF4y2Ba2gydF4y2BaOgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba-水和cuo -水纳米流体在非多孔介质和多孔介质中。他们解释说，对于所有类型的纳米流体，磁场参数稳定了系统。此外，含有氧化铝纳米颗粒的纳米流体比含有氧化铜纳米颗粒的纳米流体表现出更强的稳定性。在多孔介质中，采用Brinkman模型对自由-自由、无刚性和刚性-刚性三种不同的边界进行了分析。对于自由-自由边界，得到瑞利数的表达式为[gydF4y2Ba98gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{1}{{\α^{2}}}\离开[{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}+ \压裂{{问\π^ {2}}}{\ varepsilon} \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)}\右]+ Rn \离开[{\压裂{Le} {\ varepsilon} - Na} \右]\;{达西模型}}{\文本,$ $gydF4y2Ba
(31)gydF4y2Ba
$ $ Ra = \压裂{1}{{\α^{2}}}\离开[{Da \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}+ \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}+ \压裂{{问\π^ {2}}}{\ varepsilon} \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)}\右]- Rn \离开[{\压裂{Le} {\ varepsilon} + N_{一}}\右]\;{Brinkman模型}}{\文本。$ $gydF4y2Ba
（32)gydF4y2Ba

在有磁场存在的情况下，比较了cu -水水纳米流体和ag -水水纳米流体的稳定性，发现cu -水水纳米流体比ag -水水纳米流体更稳定。与无刚性边界相比，具有双刚性边界的系统具有更强的稳定性，而无刚性边界又比自由-自由边界更稳定。在多孔介质中，他们还研究了纳米颗粒的体积分数和跨边界的温差对系统稳定性的影响，发现温差显著地稳定了纳米流体层，而纳米颗粒的体积分数和孔隙率使层不稳定。昌德和拉纳[gydF4y2Ba99gydF4y2Ba]找到了在多孔介质中存在均匀垂直磁场的情况下，纳米流体层更真实边界条件的解。他们推导了磁场存在下静止对流和振荡对流的稳定性判据，并描述了振荡运动不发生。夏尔马等人。[gydF4y2BaOne hundred.gydF4y2Ba和Gupta等人。[gydF4y2Ba101gydF4y2Ba]分别建立了垂直磁场对多孔介质和非多孔介质中水平流体层中二元纳米流体对流的稳定影响。磁场参数的稳定影响如图所示。gydF4y2Ba6gydF4y2Ba对于静对流和振荡对流[gydF4y2Ba101gydF4y2Ba］．gydF4y2Ba

图6gydF4y2Ba
图6gydF4y2Ba

磁场参数对瑞利数的影响[gydF4y2Ba101gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

霍尔电流的影响gydF4y2Ba

当外加电场和磁场相互垂直时，电流不沿电场的方向流动。因此，当电流通过有磁场的导电流体时，磁场施加横向力，在导电流体的两侧产生可测量的电压。这种可测量的横向电压在磁场作用下的存在，由于磁场的作用，电流倾向于流过电场，这被称为霍尔效应。因此，作用于电流中的电荷的洛伦兹力诱发了霍尔效应。古普塔(gydF4y2Ba102gydF4y2Ba]研究了霍尔电流的作用，描述了在均匀磁场存在的情况下，霍尔电流加速了热对流的发生。过去许多研究人员已经做了大量的工作[gydF4y2Ba103gydF4y2Ba，gydF4y2Ba104gydF4y2Ba，gydF4y2Ba105gydF4y2Ba磁场/霍尔电流对牛顿/非牛顿(粘弹性)流体的影响，以及相关问题。结果表明，霍尔电流引起的垂直涡量分量是造成霍尔电流失稳效应的可能原因之一。古普塔和夏尔马[gydF4y2Ba106gydF4y2Ba]进一步研究了霍尔流和旋转对Rivlin-Erickson弹粘流体双扩散对流的影响。古普塔等人[gydF4y2Ba107gydF4y2Ba，gydF4y2Ba108gydF4y2Ba]考虑了霍尔效应对多孔和非多孔介质中纳米流体层热稳定性的影响gydF4y2Ba．gydF4y2Ba由于霍尔电流的存在，非多孔介质中的守恒方程修正为:gydF4y2Ba

左({$ $ \ρ\ \压裂{{\部分{\ varvec {v}}}}{\部分t} + {\ varvec {v}} {\ mathbf{。}} \微分算符{\ varvec {v}}} \右)= - \微分算符p + \μ\微分算符^ {2}{\ varvec {v}} + \ρ{\ varvec {g}} + \压裂{{\ mu_ {e}}}{4π\}\离开({\微分算符\ * {\ varvec {h}}} \) \ * {\ varvec {h}}, $ $gydF4y2Ba
（33）gydF4y2Ba

以及麦克斯韦方程gydF4y2Ba

$ $ \压裂{{d {\ varvec {h}}}} {dt} = \离开({{\ varvec {h}}。\微分算符}\右){\ varvec {v}} + \埃塔\微分算符^ {2}{\ varvec {h}} - \ \压裂{1}{4 \πNe} \微分算符\ * \离开[{(h) \微分算符\倍\ * {\ varvec {h}}} \正确),$ $gydF4y2Ba
(34)gydF4y2Ba
$$ \nabla .{\varvec{h}} = 0。$ $gydF4y2Ba
(35）gydF4y2Ba

因此方程式。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)连同(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba35gydF4y2Ba)在霍尔电流存在的情况下形成守恒方程组。对于纳米颗粒的底部重分布，Gupta等人。[gydF4y2Ba107gydF4y2Ba，gydF4y2Ba108gydF4y2Ba得到表达gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^ {2}}}+ Rn (Le - Na) + \压裂{{问\π^{2}\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)左\[{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^ {2}+ Q \π^{2}}\右]}}{{\α^{2}左\ [M \{π^{2}\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)+ \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^ {2}+ Q \π^{2}}\右]}},$ $gydF4y2Ba
（36)gydF4y2Ba

附加霍尔电流参数在哪里gydF4y2Ba\ \(米)gydF4y2Ba被发现存在。霍尔电流的作用是加速对流。gydF4y2Ba7gydF4y2Ba)，而磁场会延迟它。还确定了gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba在霍尔电流存在的情况下，氧化铝比铜纳米颗粒在水中的适应性更强。gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)．研究发现，对于顶部重构型的纳米颗粒，其传热方式为静止对流。此外，对多孔介质的速度用方程中的达西速度代替。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba，gydF4y2Ba2gydF4y2Ba，gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)连同(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba35gydF4y2Ba)，得到多孔介质存在霍尔电流时纳米流体的守恒方程。亚达夫和李[gydF4y2Ba109gydF4y2Ba亚达夫等人。[gydF4y2Ba110gydF4y2Ba]对对流边界条件进行了修正，分别针对非多孔介质和多孔介质提出了一种更现实可行的存在霍尔电流的纳米流体层体系。他们研究了具有大磁场的纳米流体层的稳定性，得到了瑞利数的表达式[gydF4y2Ba110gydF4y2Ba在多孔介质中，如:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{2}}}{{\α^ {4}\ varepsilon ^{2} + \α^{2}\离开({\ varepsilon ^ {2} + M ^{2}} \) \π^{2}}}\离开[{\左\{{\α^ {2}\ varepsilon ^{2} + \α^{2}\离开({\ varepsilon ^ {2} + M ^{2}} \) \π^{2}}\右\}\ * \左\ {{1 + Da \离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)+ \ varepsilon \π^ {2}Q} \右\}}\右]- \离开({\压裂{1}{\ varepsilon} - \压裂{1}{Le}} \右)Rn \, Le \ Na。$ $gydF4y2Ba
(37）gydF4y2Ba
图7gydF4y2Ba
图7gydF4y2Ba

霍尔电流参数对瑞利数的影响[gydF4y2Ba107gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba
图8gydF4y2Ba
图8gydF4y2Ba

在霍尔效应作用下氧化铝和铜纳米颗粒对瑞利数的影响[gydF4y2Ba108gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

根据他们的结果，当霍尔电流参数的值小时，对系统有不稳定的影响，而当霍尔电流参数的值大时，对系统没有明显的影响。同样地，我们发现磁场参数对对流的发生有明显的延迟作用，对于霍尔电流参数值小的情况下，而对于霍尔电流参数值大的情况下，对系统没有影响。他们还观察到对流单元的大小取决于磁场参数和霍尔电流参数，当霍尔电流参数值小时，磁场和霍尔电流的滚动变得不重要。给出了静置对流失稳的条件，并证明在新的边界条件下，振荡对流不能发生。在多孔介质中，霍尔电流参数和纳米颗粒参数加速了对流的发生，而达西数、磁性达西数和孔隙率参数延缓了流体层不稳定的发生。gydF4y2Ba

LTNE的作用gydF4y2Ba

上述研究均基于局部热平衡(LTE)，假设流体与粒子相之间的温度梯度可以忽略不计，但Vadasz [gydF4y2Ba111gydF4y2Ba，gydF4y2Ba112gydF4y2Ba]阐明了当热导率增加时，流体与颗粒相之间总是存在热滞后。库兹涅佐夫和尼尔德[gydF4y2Ba113gydF4y2Ba，gydF4y2Ba114gydF4y2Ba和尼尔德和库兹涅佐夫[gydF4y2Ba115gydF4y2Ba]探讨了这种称为局部热非平衡模型(LTNE)的热滞后对多孔和非多孔介质纳米流体层热不稳定性的影响。在非多孔介质中，为了考虑热非平衡相的影响，采用了Nield和Kuznetsov [gydF4y2Ba115gydF4y2Ba]如下:gydF4y2Ba

$ $ \离开({\ρc} \右)_ {f} \[{\离开压裂{{\部分T_ {f}识别}}{\部分t} + {\ varvec {v}}。\微分算符T_ {f}}识别正确\]= (k_ {f} \微分算符^ {2}T_ {f})识别+ \压裂{{h_ {fp}}} {{1 - \ phi_{0}}} \离开({T_ {p} - T_ {f}}识别识别\右)+ \离开({\ρc} \右)_ {p} \离开[{D_ {B} \微分算符\φ。\ T + D_微分算符{T} \压裂{\微分算符T \微分算符T} {T}} \正确),$ $gydF4y2Ba
(38)gydF4y2Ba
$ $ \ phi_{0} \离开({\ρc} \右)_ {p} \[{\离开压裂{{\部分T_ {p}识别}}{\部分t} + {\ varvec {v}}。\微分算符T_ {p}} \正确识别]= \ phi_ {0} (k_ p{} \微分算符^ {2}T_ {p})识别+ h_ {fp} \离开({T_ {f} - T_ {p}}识别识别\右)。$ $gydF4y2Ba
（39)gydF4y2Ba

由于LTNE效应的附加变量gydF4y2Ba\(k_{f}，k_{p}，T_{f}，T_{p}，h_{fp}\)gydF4y2Ba被介绍给大家gydF4y2Ba\ (k_ {f}, k_ p {} \)gydF4y2Ba分别为流体和粒子相的有效导热系数，gydF4y2Ba\ (T_ {f},识别T_ {p} \)识别gydF4y2Ba表示流体和粒子相的温度和gydF4y2Ba\ (h_ {fp} \)gydF4y2Ba是流体/颗粒相之间的相间传热系数。而对于多孔介质，三温模型更适合于分析流体相、颗粒相和固体基体相之间的热滞后[gydF4y2Ba113gydF4y2Ba被给出为:gydF4y2Ba

$ $ \ varepsilon \离开({1 - \ phi_{0}} \) \离开({\ρc} \右)_ {f} \[{\离开压裂{{\部分T_ {f}识别}}{\部分t} + \压裂{{{\ varvec {v}} _ {D}}} {\ varepsilon}。\倒三角T_ {f}}识别\]= \ varepsilon \左右({1 - \ phi_{0}} \右)(k_ {f} \微分算符^ {2}T_ {f})识别+ \ varepsilon \离开({1 - \ phi_{0}} \) \离开({\ρc} \右)_ {p} \离开[{D_ {B} \微分算符\φ。\ T + D_微分算符{T} \压裂{\微分算符T \微分算符T} {T}} \右]+ h_ {fp} \离开({T_ {p} - T_ {f}}识别识别\右)+ h_ {fs} \离开({T_{年代}- T_ {f}}识别识别\右),$ $gydF4y2Ba
(40）gydF4y2Ba
$ $ \ varepsilon \ phi_{0} \离开({\ρc} \右)_ {p} \[{\离开压裂{{\部分T_ {p}识别}}{\部分t} + \压裂{{{\ varvec {v}} _ {{\ varvec {D}}}}} {\ varepsilon}。\微分算符T_ {p}} \正确识别]= \ varepsilon \ phi_ {0} (k_ p{} \微分算符^ {2}T_ {p})识别+ h_ {fp} \离开({T_ {f} - T_ {p}}识别识别\右),$ $gydF4y2Ba
(41)gydF4y2Ba
$ $ \离开({1 - \ varepsilon} \) \离开({\ρc} \右)_{年代}\离开[{\压裂{{\部分T_{年代}识别}}{\部分t}} \右]= \离开({1 - \ varepsilon} \右)(k_{年代}\微分算符^ {2}T_{年代})识别+ h_ {fs} \离开({T_ {f} - T_{年代}}识别识别\右),$ $gydF4y2Ba
（42）gydF4y2Ba

因此，对于非多孔介质方程。（gydF4y2Ba38gydF4y2Ba，gydF4y2Ba39gydF4y2Ba)和方程式。（gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)对LTNE模型形成守恒方程组，而对多孔介质则形成守恒方程组。（gydF4y2Ba7gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)连同(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)构成方程组。瑞利数表达式[gydF4y2Ba115gydF4y2Ba对于非多孔介质为:gydF4y2Ba

左$ $ Ra \[{1 + \压裂{\伽马+ 1}{\三角洲}\压裂{{N_ {H}}}{{\π^{2}+ \α^{2}}}}\右]+ Rn \离开[{Le + N_{一}}\ \离开。{+ \压裂{{\离开(δ}{\伽马+ \ \右)勒+ \离开({\伽马+ 1}\右)N_{一}}}{\三角洲}\压裂{{N_ {H}}}{{\π^{2}+ \α^{2}}}}\右]= \压裂{{\离开({\π^{2}+ \α^{2}}\右)^{3}}}{{\α^{2}}}左\[{1 + \压裂{\伽马+ \三角洲}{\三角洲}\压裂{{N_ {H}}}{{\π^{2}+ \α^{2}}}}\正确),$ $gydF4y2Ba
(43）gydF4y2Ba

其中附加参数尼尔德数，gydF4y2BaNgydF4y2BaHgydF4y2Ba，修正热容比γ和修正热扩散率gydF4y2Ba\三角洲(\ \)gydF4y2Ba对于多孔介质，颗粒相和固相分别产生了这些参数，并分析了所有这些参数的影响。这里是修正的热容比γ，和修正的热扩散率gydF4y2Ba\三角洲(\ \)gydF4y2Ba增加了系统的稳定性，而尼尔德数gydF4y2BaNgydF4y2BaHgydF4y2Ba倾向于减少它。他们发现LTNE对非振荡稳定性的影响显著，但对典型的稀纳米流体的影响不显著。此外，Bhadauria和Agarwal研究了线性和非线性条件下使用LTNE模型的多孔介质热不稳定性[gydF4y2Ba116gydF4y2Ba］．与LTE相比，LTNE中的对流设置更早。对于线性条件Bhadauria和Agarwal [gydF4y2Ba116gydF4y2Ba得到的表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{\ varepsilon} {{\ alpha_ {c} ^{2}}} \左\ {{J ^ {2} (1 + DaJ ^{2}) + \压裂{{RnLe \α^ {2}}}{{J ^ {2} \ varepsilon}}} \右\}\离开({\压裂{{\ varepsilon_ J ^ {p} {2} + \ gamma_ {p} N_{惠普}}}{{\ varepsilon_ J ^ {p}{2} + \离开({1 + \ gamma_ {p}} \右)N_{惠普}}}}\ )\,\,\,\,\ 左\{{\左({J ^ {2} + N_{惠普}+ N_ {HS}} \右)- \压裂{{\离开({\ gamma_ {p} N_{惠普}}\右)^ {2}}}{{\ varepsilon_ J ^ {p}{2} + \离开({1 + \ gamma_ {p}} \右)N_{惠普}}}- \压裂{{\离开({\ gamma_{年代}N_ {HS}} \右)^ {2}}} {{\ varepsilon_ J ^{年代}{2}+ \离开({1 + \ gamma_{年代}}\右)N_ {HS}}}} \ \} - Rn \, Na, $ $gydF4y2Ba
(44)gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba\ (J ^{2} = \π^ {2}+ \ alpha_ {c} ^ {2} \ \,, \ \ \ alpha_ {c} ={\π\ mathord{\左/ {\ vphantom{\π{\倍根号2}}}\。\kern-\nulldelimiterspace} {\ root 2}}，\)gydF4y2BaNgydF4y2Ba惠普gydF4y2Ba，gydF4y2BaNgydF4y2Ba海关gydF4y2Ba界面传热参数和gydF4y2Ba\ \ (\ gamma_ {p}, \ gamma_{年代}\)gydF4y2Ba修改后的热容比和gydF4y2Ba\ \ (\ varepsilon_ {p}, \ varepsilon_{年代}\)gydF4y2Ba是修正后的热容比。随着浓度瑞利数、尼尔德数和修正扩散比的增大，努塞尔数减小，换热速率减小。随着改性热容比的增大，传热速率增大。另一方面，对于固体基体相，最初观察到的传热速率是不稳定的，随着时间的推移，它接近恒定值。阿加瓦尔和巴达乌里亚[gydF4y2Ba117gydF4y2Ba]研究了旋转纳米流体层在非平衡条件下的热不稳定性。除了上述结果外，他们还发现在纳米颗粒浓度较小时，瑞利数、刘易斯数和泰勒数的临界瑞利数有轻微变化，随着这些参数值的增加，临界瑞利数呈稳步上升的趋势，而在经过修饰的扩散系数比下，临界瑞利数呈相反的趋势。阿胡贾和古普塔[gydF4y2Ba118gydF4y2Ba]使用LTNE模型检验了旋转纳米流体层的MHD效应。一个术语伽辽金近似被用来分析稳定性。对于纳米粒子的顶部重分布，他们得到的表达式为:gydF4y2Ba

$ $ Ra = \压裂{{(问\π^ {2}+ J ^{2})}}{{\α^{2}}}\压裂{{\左\{{\离开({J + N_ {H}} \) \离开({\三角洲J + N_伽马}{H} \ \右)——N_ {H} ^γ}{2}\ \右\}}}{{\离开({\三角洲J + N_ {H} \伽马+ N_ {H}} \右)}}+ \ \压裂{{Ta \π^ {2}J}}{{\α^{2}}}\压裂{{\左\{{\离开({J + N_ {H}} \) \离开({\三角洲J + N_伽马}{H} \ \右)——N_ {H} ^γ}{2}\ \右\}}}{{(问\π^ {2}+ J ^{2}) \离开({\三角洲J + N_ {H} \伽马+ N_ {H}} \右)}}- Rn左\[{\压裂{{\左\{{\左({J + N_ {H}}\) \离开({\ varepsilon J + N_伽马}{H} \ \右)——N_ {H} ^γ}{2}\ \右\}Le}}{{\离开({\三角洲J + N_ {H} \伽马+ N_ {H}} \右)J}} + Na} \]。$ $gydF4y2Ba
（45)gydF4y2Ba

他们发现Taylor数、Chandrasekhar数、修正热扩散比和修正热容比增强了系统的稳定性，而浓度Rayleigh数、Nield数、修正扩散比和Lewis数加快了热对流的发生，使纳米粒子在LTNE中发生顶部重分布。此外，Yadav等人。[gydF4y2Ba119gydF4y2Ba]利用零纳米粒子通量边界条件研究了局部热不平衡对旋转作用下多孔层中纳米流体对流开始的影响。对于多孔介质，采用Brinkman模型。Nield和Kuznetsov [gydF4y2Ba120gydF4y2Ba］．他们发现采用LTNE的系统比LTE模型的稳定性更差，如图所示。gydF4y2Ba9gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

图9gydF4y2Ba
图9gydF4y2Ba

LTNE与LTE模型比较[gydF4y2Ba120gydF4y2Ba］gydF4y2Ba

全尺寸图像gydF4y2Ba

值得一提的是，所有的研究都假设纳米颗粒的体积分数沿层边界是恒定的，这在实际中很难实现。因此，在边界处考虑纳米颗粒体积分数为零的情况下，修正了该模型。利用修正后的模型对大部分问题进行了重新探讨。在原模型和修正模型中，均假设纳米颗粒体积分数仅在水平方向上变化，并将纳米颗粒在基本状态下取恒定值，从而更有效地建立了金属和非金属纳米颗粒对层内对流的贡献。综上所述，在研究对流运动时，可以对应用的模式进行不同的更改，这将产生显著的差异。gydF4y2Ba

结束语和今后工作的范围gydF4y2Ba

本文综述了纳米流体在不同水动力和水磁学参数作用下的各种失稳问题。许多研究者已经证实了在极低的纳米颗粒浓度下对流流体的显著强化换热作用，并对相关文献进行了详细的综述。因此，研究相关机制的数学研究开始了，由于纳米粒子的存在产生的影响导致了一套基于守恒定律的新方程，这进一步鼓励了理论家们制定纳米流体的不稳定性问题。本文详细回顾了纳米流体对流的解析和数值研究工作，以及各种参数的影响，如旋转、磁场、霍尔效应和LTNE效应在多孔和非多孔介质中的作用。纳米粒子的存在加速了纳米流体的不稳定性，多孔介质进一步增加了纳米流体的这一特性。旋转和磁场延迟对流，霍尔电流和局部热非平衡效应加速对流在流体层的发生。最初，假设纳米颗粒的通量可以通过边界的温度来控制。但在适当的时候，我们对原模型进行了修正，假设纳米粒子在边界上的通量为零，这比纳米粒子的上重/下重构型更加真实。对修正后的模型进行了进一步的修正，以研究纳米粒子体积分数为常数的初始条件下的不稳定性问题，瑞利数的表达式对决定系统稳定性的物理性质(密度和电导率)都有重要意义。发现振荡是不可能的，因此传导传热仅通过非振荡模式。 Further, surveyed literature is analyzed for possibility of future work and some observations are made like (i) the investigations need to be explored in more detail using advanced analytical methods and mathematical software for calculations to make the study more efficient. (ii) The experiments must be performed in order to validate the results and hence the need for interdisciplinary research is found which would lead to motivation and practical significance of presented work.

数据和材料的可用性gydF4y2Ba

不适用。gydF4y2Ba

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作者在此感谢Urvashi Gupta教授提出的宝贵建议。作者也感谢审稿人的宝贵意见，为论文的完善做出了很大的贡献。gydF4y2Ba

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作者信息gydF4y2Ba

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  1. 印度昌迪加尔政府研究生学院数学系gydF4y2Ba

    Jyoti AhujagydF4y2Ba

  2. 印度昌迪加尔旁遮普大学工程与技术学院gydF4y2Ba

    乔蒂·夏尔马gydF4y2Ba

作者gydF4y2Ba
  1. Jyoti AhujagydF4y2Ba
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JA调查了有关纳米流体热不稳定性的文献。JS调查了有关纳米流体热溶不稳定性的文献。两位作者都撰写了最终手稿。两位作者都阅读并批准了最终稿。gydF4y2Ba

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Ahuja, J, Sharma, J. Rayleigh-Bénard纳米流体的不稳定性:综合综述。gydF4y2Ba微纳系统莱特gydF4y2Ba8gydF4y2Ba， 21(2020)。https://doi.org/10.1186/s40486-020-00123-ygydF4y2Ba

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  • 多孔介质gydF4y2Ba
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