圆形立柱阵列的俯视图如图所示。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.流动是由压差引起的,在图中向下移动。结构是周期性的。水平周期为gydF4y2BaλgydF4y2Ba竖直周期是gydF4y2BaλgydF4y2Ba*gydF4y2Ba.由于实际原因,周期通常选择近似相等,以便gydF4y2BaλgydF4y2Ba≈gydF4y2BaλgydF4y2Ba*gydF4y2Ba.如果gydF4y2BaλgydF4y2BaλgydF4y2Ba*gydF4y2Ba,那么微流控装置就会不合理的长。在这种情况下gydF4y2BaλgydF4y2Ba>gydF4y2BaλgydF4y2Ba*gydF4y2Ba,大颗粒可能会卡在行之间。马赛克瓷砖gydF4y2BaλgydF4y2Ba×gydF4y2BaλgydF4y2Ba*gydF4y2Ba以这样一种方式来布局,使得每一行都向右移动gydF4y2BaελgydF4y2Ba相对于前一个,使用行移分数,gydF4y2BaεgydF4y2Ba.如果值gydF4y2BangydF4y2Ba= 1 /gydF4y2BaεgydF4y2Ba是一个整数,那么这个结构会重复每一个吗gydF4y2BangydF4y2Ba行。数字gydF4y2Ba1gydF4y2Ba展示了gydF4y2BangydF4y2Ba= 4。gydF4y2Ba
流体是不可压缩的,长距离的流动被不变形的垂直边界墙限制在左右。因此,平均流速严格向下定向。左右边界壁违反了理想的周期结构,导致边界附近的流体流动异常。英格利斯(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba]显示了如何通过修改边界接口来消除此问题。然而,边界附近的扰动对图中所示微流控装置中间部分的流动影响很小。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.英格利斯等人[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]假设在两根柱子之间最窄的流动部分呈抛物线速度分布。gydF4y2Ba
根据流体力学理论,在两个无限长的平行板之间出现抛物线速度分布,用哈根-泊苏叶方程来描述。显然,这个方程对于微流控装置的二维流动模型是足够精确的,这已经被许多数值计算所证实。特别是al - fandi等人。[gydF4y2Ba9gydF4y2Ba结果表明,不仅圆柱形柱之间,而且菱形柱与翼型柱之间的流动也趋于抛物线。gydF4y2Ba
水流中最狭窄的部分,即所谓的缝隙gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2BaggydF4y2Ba= 2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)和抛物线速度剖面gydF4y2BaugydF4y2Ba(gydF4y2BaygydF4y2Ba)如图所示。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.选择坐标系是为了gydF4y2BaxgydF4y2Ba-轴与流(垂直向下)和gydF4y2BaygydF4y2Ba-轴垂直(水平向右)。gydF4y2Ba
通过间隙g的总流量可分为1、2、…和gydF4y2BangydF4y2Ba如Huang等人所描述的那样。[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]和英格利斯等人[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba].在随后的行中,第一个流绕过post,流2变成1,流3变成2,等等(见图)。gydF4y2Ba1gydF4y2Ba).流通过后恢复编号顺序gydF4y2BangydF4y2Ba一排排的柱子。因此,每条流必须携带相同的流体通量。基于这些考虑,Huang等人[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba]和英格利斯等人[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba]证明了如果粒子的半径小于第一流线的宽度gydF4y2BaβgydF4y2Ba,那么它将遵循之字形模式。如果粒子半径超过第一流线的宽度gydF4y2BaβgydF4y2Ba时,它将以bump模式运行。这使得确定临界粒子直径成为可能gydF4y2BaDgydF4y2BacgydF4y2Ba:gydF4y2BaDgydF4y2BacgydF4y2Ba= 2gydF4y2BaβgydF4y2Ba.各流线内流体流动的等效性由下式表示:gydF4y2Ba
$ $ \ int \ limits_{-} ^{-β+ \}{u (y) dy} = \ varepsilon \ int \ limits_{-} ^{一}{u (y) dy} $ $gydF4y2Ba
(1)gydF4y2Ba
采用抛物Poiseuille流速剖面,Inglis等[gydF4y2Ba2gydF4y2Ba求解Eq. (gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BaβgydF4y2Ba得到临界直径(Inglis直径):gydF4y2Ba
$ $ D_ {c} ^ {Inglis} = 2 \ beta_ {Inglis} = g \离开({1 + 2 w + \压裂{1}{2 w}} \右)= 2 \离开({1 + 2 w + \压裂{1}{2 w}} \右)$ $gydF4y2Ba
(2)gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba左\ (w = \[{\压裂{1}{8}\压裂{\ varepsilon}, {4} + \ sqrt{\压裂{\ varepsilon} {16} (\ varepsilon - 1)}} \右]^{(1/3)}\离开({\压裂{1},{2},{\文本{j}} \压裂{\倍根号3}{2}}\)\)gydF4y2Baj是虚数单位gydF4y2Ba\({\text{j =}}\sqrt {- 1}\)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
方程(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)对于通过无限高的柱子数组的流是有效的。这个分数gydF4y2Ba\ (D_ {c} ^ {Inglish} / g \)gydF4y2Ba由式(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)如图中蓝色实线所示。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba.该模型几乎预测了颗粒分离为锯齿和碰撞模式,但给出了一个低估的临界直径。gydF4y2Ba
戴维斯(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba]在许多具有不同行移分数和间隙大小的设备中测试了颗粒分离,并设计了以下临界直径(Davis直径)的经验公式:gydF4y2Ba
$$ D_{c}^{Davis} = 1.4g\varepsilon^{0.48} $$gydF4y2Ba
(3)gydF4y2Ba
这个分数gydF4y2Ba戴维斯\ (D_ c {} ^ {} / g \)gydF4y2Ba由式(gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba)如图中红色虚线所示。gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,其中也显示了比例gydF4y2Ba\ (D_ {c} ^{戴维斯}/ D_ {c} ^ {Inglis} \)gydF4y2Ba用绿色虚线标出。gydF4y2Ba
在现实中,DLD微流控装置在通道的顶部和底部之间有一个有限的空间(见图。gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba).可以假定两柱之间的流动可以用无限长的矩形管道内的流动来描述。gydF4y2Ba
为了考虑这种流,可以方便地将原点放在一个矩形的中心,其范围为−a≤y≤a,−b≤z≤b。gydF4y2Ba
矩形管道内泊肃叶流的解析解表示为[gydF4y2Ba11gydF4y2Ba,gydF4y2Ba12gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba
$ $ u (y, z) = \压裂{{16 ^{2}}}{{\μ\π^{3}}}\离开({- \压裂{dp} {{dx}}} \) \ \ limits_总和{i = 1、3、5…} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {(i - 1) / 2}左\[{1 - \压裂{{\ cosh \离开({我\ zπ/ 2}\右)}}{{\ cosh \离开({我\ bπ/ 2}\右)}}}\右]\压裂{{\因为\离开({我\πy / 2} \右)}}{{我^ {3}}}}$ $gydF4y2Ba
(4)gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2BaµgydF4y2Ba是动力粘度和gydF4y2BapgydF4y2Ba是静水压力。gydF4y2Ba
数字gydF4y2Ba3.gydF4y2Ba显示了通道顶部和底部之间不同平面上的速度分布和彩色横截面速度图gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba来gydF4y2BabgydF4y2Ba长宽比为1/2和1/4。在不同的平面水平面上,临界直径不同,其中gydF4y2BazgydF4y2Ba=常数。gydF4y2Ba
在极限情况下,当通道高度gydF4y2BabgydF4y2Ba趋于无穷时,Eq. (gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)给出了平行板间泊苏叶流的抛物线速度分布。gydF4y2Ba
某一层第一流线宽度的方程与式(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba):gydF4y2Ba
$ $ \ int \ limits_{-} ^{-β+ \}{u (y, z = const) dy} = \ varepsilon \ int \ limits_{-} ^{一}{u (y, z = const) dy} $ $gydF4y2Ba
(5)gydF4y2Ba
组成Eq. (gydF4y2Ba5gydF4y2Ba),则有必要对cos(gydF4y2Ba我πygydF4y2Ba/ 2gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba):gydF4y2Ba
$ $ \ int \ limits_{-} ^{-β+ \}{\因为\离开({我\πy / 2} \右)dy} = \离开了。{\压裂{{2 \罪\离开({我\πy / 2} \右)}}{我\π}}\右| _{-}^{-β+ \}= \压裂{{2左\[{\罪\离开({\π(- a + \β)/ 2}\右)+ \罪\离开({我\π/ 2}\右)}\右]}}{我\π}$ $gydF4y2Ba
而且gydF4y2Ba
$ $ \ int \ limits_{-} ^{一}{\因为\离开({我\πy / 2} \右)dy} = \离开了。{\压裂{{2 \罪\离开({我\πy / 2} \右)}}{我\π}}\右| _{-}^{一}= \压裂{{4 \罪\离开({我\π/ 2}\右)}}{我\π}$ $gydF4y2Ba
经过代入化简,方程为宽度gydF4y2BaβgydF4y2Ba形式为:gydF4y2Ba
$$ \sum\limits_{i = 1,3,5....} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {(i - 1) / 2} \压裂{1}{{我^{4}}}左\[{1 - \压裂{{\ cosh \离开({我\ zπ/ 2}\右)}}{{\ cosh \离开({我\ bπ/ 2}\右)}}}\右]\离开[{\罪\离开({\压裂{\π(- a + \β)}{{2}}}\右)+ \罪\离开({\压裂{\π}{2}}\右)- 2 \ varepsilon \罪\离开({\压裂{\π}{2}}\右)}\右]}= 0 $ $gydF4y2Ba
(6)gydF4y2Ba
在本研究中,Eq. (gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)的数值求解。gydF4y2Ba
临界直径变异性gydF4y2Ba
数字gydF4y2Ba4gydF4y2BaA和C表示粒子临界直径的解析近似与Eq. (gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),其中速度分布由式(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba).为了进行比较,我们选取了理想化的器件模型的几何参数。柱子之间的距离是gydF4y2BaggydF4y2Ba= 10 μm,通道宽度的一半为gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba/2 = 5 μm。行移分数为gydF4y2BaεgydF4y2Ba= 0.1。深槽高度为50 μm,浅槽高度为10 μm。因此,高宽比gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba/gydF4y2BabgydF4y2Ba为1/5(图;gydF4y2Ba4gydF4y2BaA)和1/1(图;gydF4y2Ba4gydF4y2BaC).另外,图。gydF4y2Ba4gydF4y2BaA和C为公式计算的临界直径(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba)作为参考点。gydF4y2Ba
对于所选微流控器件参数,其最大临界直径与最小临界直径之差约为0.5µm。浅槽的最大临界直径小于深槽。如果通道高度趋于无穷大,则临界直径不依赖于粒子位置,趋于式所描述的值(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba).因此,分离效率随着通道高度的增加而增加。图的比较gydF4y2Ba3.gydF4y2BaB和D表明,在较深的通道中,小颗粒和大颗粒之间的分离边界是共享的。gydF4y2Ba
理想粒子分离gydF4y2Ba
前面的小节表明,临界直径取决于颗粒在通道底部和顶部之间的位置。这意味着在一个真实的装置中,不可能将粒子分离成严格大于和严格小于给定临界直径的粒子。gydF4y2Ba
因此,如果用DLD将多分散粒子分离,那么分离后,小粒子集合将包含大于临界直径的粒子,反之,大粒子集合将包含小于临界直径的粒子。gydF4y2Ba
假设多分散颗粒的直径服从对数正态分布:gydF4y2Ba
$ $ f (x) = \压裂{1}{{σx \ \ sqrt{2 \π}}}\ exp \离开({- \压裂{{\离开({\ ln x - \μ}\右)^{2}}}{{2 \σ^{2}}}}\右)$ $gydF4y2Ba
(7)gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2BaσgydF4y2Ba形状参数(或分布对数的标准偏差)和gydF4y2BaμgydF4y2Ba是规模参数(或分布的中位数)。形状和尺度参数影响分布的偏度。在理想情况下,如图所示。gydF4y2Ba4gydF4y2BaB和D,这些参数被选为gydF4y2BaσgydF4y2Ba= 0.35,和gydF4y2BaμgydF4y2Ba= 1。gydF4y2Ba
数字gydF4y2Ba4gydF4y2BaB和D表示采用前一小节中描述的几何参数的理想DLD微流控器件的分离效率。分离后,利用公式(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba)为临界直径。gydF4y2Ba
可以看出,小颗粒和大颗粒之间的分离边界不是一条明显的垂直线,而是明显模糊。分离效率随着通道高度的增加而增加。gydF4y2Ba